Диференціальні рівняння. Ряди для студентів заочної форми навчання


с. 1
З А В Д А Н Н Я

контрольної роботи №5 з теми

Диференціальні рівняння. Ряди”

для студентів заочної форми навчання.


Вимоги

До ВИКОНАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ Роботи

Вибір варіанту
Варіанти задач обираються згідно з буквами прізвища, імені та по-батькові студента (на українській мові в залікової книжки) за допомогою наступної таблиці:


Буква

А

Б

В

Г

Д

Е

Є

Ж

З

И

І

Ї

Й

К

Л

М

Цифра

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

Буква

Н

О

П

Р

С

Т

У

Ф

Х

Ц

Ч

Ш

Щ

Ь

Ю

Я

Цифра

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2



Впродовж учбового семестру студент повинен вивчити теорію по темам, які вказани в програмі, та виконати контрольні роботи.

При виконанні контрольної роботи необхідно:

  • роботу представляти в окремому зошиті в клітинку;

  • на першій сторінці контрольної роботи повинна бути таблиця, яку студент зобов'язаний заповнити перед виконанням завдання

Наприклад:



Прізвище , ім'я , по-батькові: Баєв Ігор Миколаєвич

П.І.П

Б

А

Є


В

І

Г

0

Р

№ задачі

1

2

3

4

5

6

7

8

№ варіанта

2

1

7

3

1

4

8

10

Таблиця для заповнення


Прізвище , ім'я , по-батькові:

П.І.П






















№ задачі

1

2

3

4

5

6

7

8

№ варіанта


























Зауваження. Якщо деякі завдання не потрібно виконувати, по рішенню лектора, тоді замість № варіанта ставиться дефіс.


  • перед вирішенням кожного завдання переписати його умову ;

  • вирішення завдань виконувати строго в порядку нумерації;

  • детально описувати всі проміжні дії і обчислення, обгрунтовувати кожен етап рішення, указувати вживані формули;

  • у зошит вкладають листок для рецензії на роботу стандартного зразка;

  • помилки, відмічені рецензентом при перевірці контрольної роботи, виправляти в цьому ж зошиті, після тексту роботи під заголовком «Виправлення помилок»;

  • контрольна робота, виконана без дотримання вище згаданих вимог, буде повернена.


Завдання 1. Знайти загальні розв’язки диференціальних

рівнянь.





5.1.1



5.1.2


5.1.3


5.1.4



5.1.5


5.1.6


5.1.7









5.1.9



Завдання 2. Знайти частинні розв’язки диференціальних рів-

нянь, що задовольняють заданим початковим



умовам.
5.2.0






5.2.1






5.2.2






5.2.3






5.2.4







5.2.5






5.2.6






5.2.7






5.2.8






5.2.9






Завдання 3. Знайти загальний розв’язок системи диференці-

альних рівнянь, і виділити частинний розв’язок

цієї системи, що задовольняє заданим початко-

вим умовам.












5.3.2
5.3.3

5.3.4

5.3.5
5.3.6
5.3.7
5.3.8
5.3.9

Завдання 4.




В сосуде - 100 л водного раствора соли. В сосуд втекает чистая вода со скоростью q = 5 лмин, а смесь вытекает с той же скоростью, причем концентрация раствора с помощью перемешивания поддержи-вается равномерной. В начальный момент времени в растворе содер-жалось m0 = 10 кг соли. Сколько соли будет содержаться в сосуде через 20 мин после начала процесса




Известно, что изолированный проводник вследствие несовершенст-ва изоляции теряет сообщенный ему заряд, причем скорость потери заряда пропорциональна наличному заряду в данный момент. В начальный момент проводнику сообщен заряд За пер-

вые две минуты проводник теряет Определить, через сколь-ко минут заряд проводника станет равным половине начального.


5.4.2

Закон распада радия состоит в том, что скорость распада пропорци-ональна наличному количеству радия. Известно, что половина его пер-воначального запаса распадается по истечении 1600 лет. Определить количество нераспавшегося радия по истечении 100 лет, если первона-

чальное его количество равно 1 кг.

5.4.3

Моторная лодка весом 300 кг движется прямолинейно с начальной

скоростью 10 м с. Сопротивление воды пропорционально скорости и равно 10 кг при скорости 1 м с. Какое расстояние пройдет лодка прежде, чем ее скорость станет равной 8 м с, и за какое время она пройдет это расстояние
5.4.4

Материальная точка массой 0,2 кг с начальной скоростью, равной



0,05 м с, погружается в воду. Найти путь, пройденный точкой за 2 с,

если сила сопротивления жидкости пропорциональна скорости ( коэф-

фициент пропорциональности равен 2 ).
5.4.5

Точка массой 2 г движется прямолинейно. На нее действует сила,

пропорциональная квадрату времени, протекшему от момента, когда

скорость была рана н у л ю ( коэффициент пропорциональности равен 4).

Кроме того, точка испытывает сопротивление среды, пропорциональное

скорости ( коэффициент пропорциональности равен -3). Найти зависи-

мость пути от времени.
5.4.6

Тело весом 0,4 кг брошено вверх со скоростью 20 м с. Сопро-

тивление воздуха пропорционально квадрату скорости и равно 0,48 Г

при скорости 1 м с. Вычислить время подъема тела.


5.4.7

Материальная точка массой m = 1 г движется прямолинейно.

На нее действует в направлении движения сила, пропорциональная

времени, с коэффициентом пропорциональности кгм с3

и сила сопротивления среды, пропорциональная скорости, с коэфици-

ентом пропорциональности к2 = 0,003 кг с. Найти скорость точки че-

рез 3 с после начала движения, если начальная скорость точки была

равна н у л ю.


5.4.8

Пуля, двигаясь со скоростью v0 = 400 м с, углубляется в доста-точно толстую стену. Сила сопротивления стены сообщает пуле от-

рицательное ускорение, пропорциональное квадрату ее скорости.

Найти скорость пули через 0,001 с после вхождения пули в стену,

если коэффициент пропорциональности .
5.4.9

Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью



v0 = 12 км ч. На полном ходу ее мотор был выключен, и через 10 с

скорость лодки уменьшилась до v1 = 6 км ч. Сила сопротивления воды

пропорциональна скорости движения лодки. Найти скорость лодки через 1 мин после остановки мотора.


Завдання 5 Дослідити числові ряди на збіжність, використо-

вуючи:


1 ) необхідну ознаку збіжності, якщо це можливо;

2 ) достатні ознаки збіжності для числових рядів з

додатніми членами;

3 ) ознаку Лейбніца для знакопереміжних рядів, ці ж

збіжні ряди дослідити на абсолютну та умовну

збіжність.




















Завдання 6. Знайти радіус та інтервал збіжності степеневого ряду.









Завдання 7. Знайти перші чотири членів розвинення функції f(x) в

ряд Тейлора в околі точки x 0:











Завдання 8*. Використовуючи розвинення елементарних функцій,

розкласти в ряд Маклорена функцію f(x) і знайти

область збіжності отриманого ряду:










Завдання 9*. Знайти перші чотири члена розвинення в ряд Тейлора

розв’язку задачі Коші:






















Завдання 10. Використовуючи функції f1(x) і f2(x) та відоме число a,

знайти: 1) розвинення в ряд Фур’є 2-періодичної функції



;

побудувати графіки функції F1(x) та суми отриманого ряду;

  1. розвинення в ряди синусів та косинусів функції

на відрізку 0, a ;

3) побудувати графіки отриманих рядів.




























с. 1

скачать файл

Смотрите также: