Математичні олімпіади 2012-2013 навчальний рік ІІ етап


с. 1


Математичні олімпіади
2012-2013 навчальний рік
ІІ етап
8 клас
1. Довести, що вираз набуває додатних значень при всіх значеннях х.
2. На гіпотенузі АВ прямокутного трикутника АВС вибрана точка К, для якої СК=ВС. Відрізок СК перетинає бісектрису АМ в її середині. Знайти кути трикутника АВС.
3. З квадратного аркуша паперу в клітинку, який містить ціле число клітинок, вирізали квадрат, у якому також виявилося ціле число клітинок. На частині аркуша, що залишилась, рівно 124 клітинки. Скільки клітинок мав аркуш паперу?
4. Коли автомобіль проїхав частину шляху від А до В, виявилось, що він проїхав стільки кілометрів, скільки хвилин йому прийдеться їхати частину шляху, що залишилась. Але, коли він проїхав і цю частину шляху, то виявилося, що знову він проїхав стільки кілометрів, скільки хвилин він витратив на першу частину шляху. Скільки кілометрів за годину проїжджав автомобіль?
5. Побудувати графік функції .
На виконання роботи відводиться 4 години.

Кожна задача оцінюється у 7 балів.

Користуватися електронними засобами забороняється (ноутбуками, мобільними телефонами, калькуляторами і т.п.)
Розв’язання та відповіді
1. Довести, що вираз набуває додатних значень при всіх значеннях х.
Розв’язання

Виконаємо перетворення виразу:



.

Зробимо заміну: Отримаємо квадратне рівняння:



.

Отже, вираз набуває лише додатних значень при всіх значеннях х.

2. На гіпотенузі АВ прямокутного трикутника АВС вибрана точка К, для якої СК=ВС. Відрізок СК перетинає бісектрису АМ в її середині. Знайти кути трикутника АВС.
Розв’язання


х




х



х



90-х




М

О

К

А

В

С

За умовою точка О  середина бісектриси АМ. АМ  гіпотенуза прямокутного трикутника АСМ. Тоді у трикутнику АСМ точка О  радіус описаного кола і ОС=ОА=ОМ. Отже, трикутник АОС  рівнобедрений.


А
Нехай А=2х, то САМ=МАК=АСК=х.

У трикутнику СКВ за умовою СК=СВ, тоді



СКВ=В=. Оскільки А+В=90о, то . Отже, А=36о, В=54о.

Відповідь: 36о, 54о.
с. 1

скачать файл

Смотрите также: