Обратная матрица


с. 1

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА


Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц.

Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A-1 и удовлетворяющая условию . (Это определение вводится по аналогии с умножением чисел)

Справедлива следующая теорема:

Теорема. Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

Доказательство:


  1. Необходимость. Пусть для матрицы A существует обратная матрица A-1. Покажем, что |A| ≠ 0.

Прежде всего заметим, что можно доказать следующее свойство определителей .

Предположим, что |A| = 0. Тогда . Но с другой стороны . Полученное противоречие и доказывает, что |A| ≠ 0.



  1. Достаточность. Для простоты доказательство проведём для случая матрицы третьего порядка. Пусть и |A| ≠ 0.

Покажем, что в этом случае обратной матрицей будет матрица

, где Aij алгебраическое дополнение элемента aij.

Найдём AB=C.

Заметим, что все диагональные элементы матрицы C будут равны 1. Действительно, например,

Аналогично по теореме о разложении определителя по элементам строки можно доказать, что c22 = c33 = 1.

Кроме того, все недиагональные элементы матрицы C равны нулю. Например,

Следовательно, AB=E. Аналогично можно показать, что BA=E. Поэтому B = A-1.

Таким образом, теорема содержит способ нахождения обратной матрицы.

Если условия теоремы выполнены, то матрица обратная к матрице находится следующим образом



,

где Aij - алгебраические дополнения элементов aij данной матрицы A.

Итак, чтобы найти обратную матрицу нужно:


  1. Найти определитель матрицы A.

  2. Найти алгебраические дополнения Aij всех элементов матрицы A и составить матрицу , элементами которой являются числа Aij.

  3. Найти матрицу, транспонированную полученной матрице , и умножить её на – это и будет .

Аналогично для матриц второго порядка, обратной будет следующая матрица .

Примеры.

  1. Найти матрицу, обратную данной . Сделать проверку.

|A| = 2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A.

Проверка:



.

Аналогично A∙A-1 = E.



  1. Найти элементы и матрицы A-1 обратной данной

.

Вычислим |A| = 4. Тогда .



.

  1. . Найдем обратную матрицу.






с. 1

скачать файл

Смотрите также: